Розв'яжіть x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Щоб знайти добуток степенів з однаковими основами, додайте їхні показники. Додайте 1 до 2, щоб отримати 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Додайте x^{2} до 4x^{2}, щоб отримати 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Додайте 10 до 1, щоб обчислити 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Піднесіть x^{2}-2x-3 до квадрата.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Додайте x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Додайте 2x до 12x, щоб отримати 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Додайте 11 до 9, щоб обчислити 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть 20 з обох сторін.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додайте x^{2} до обох сторін.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додайте 5x^{2} до x^{2}, щоб отримати 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть 14x з обох сторін.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть x^{4} з обох сторін.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Додайте x^{4} до -x^{4}, щоб отримати 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Додайте 4x^{3} до обох сторін.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Додайте -4x^{3} до 4x^{3}, щоб отримати 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-10. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-10 b=3$$

Перепишіть 3x^{2}-7x-10 як \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Винесіть за дужки x в 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-10, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-10=0 та x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Щоб знайти добуток степенів з однаковими основами, додайте їхні показники. Додайте 1 до 2, щоб отримати 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Додайте x^{2} до 4x^{2}, щоб отримати 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Додайте 10 до 1, щоб обчислити 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Піднесіть x^{2}-2x-3 до квадрата.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Додайте x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Додайте 2x до 12x, щоб отримати 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Додайте 11 до 9, щоб обчислити 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть 20 з обох сторін.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додайте x^{2} до обох сторін.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додайте 5x^{2} до x^{2}, щоб отримати 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть 14x з обох сторін.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть x^{4} з обох сторін.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Додайте x^{4} до -x^{4}, щоб отримати 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Додайте 4x^{3} до обох сторін.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Додайте -4x^{3} до 4x^{3}, щоб отримати 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -14 замість b і -20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Додайте 196 до 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±26}{12} за додатного значення ±. Додайте 14 до 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{40}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{10}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±26}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 26 від 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Розділіть -12 на 12.

$$x=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Щоб знайти добуток степенів з однаковими основами, додайте їхні показники. Додайте 1 до 2, щоб отримати 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Додайте x^{2} до 4x^{2}, щоб отримати 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Додайте 10 до 1, щоб обчислити 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Піднесіть x^{2}-2x-3 до квадрата.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Додайте x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Додайте 2x до 12x, щоб отримати 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Додайте 11 до 9, щоб обчислити 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додайте x^{2} до обох сторін.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додайте 5x^{2} до x^{2}, щоб отримати 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть 14x з обох сторін.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Відніміть x^{4} з обох сторін.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Додайте x^{4} до -x^{4}, щоб отримати 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Додайте 4x^{3} до обох сторін.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Додайте -4x^{3} до 4x^{3}, щоб отримати 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{20}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Поділіть -\frac{7}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{6}. Потім додайте -\frac{7}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Щоб додати \frac{10}{3} до \frac{49}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Додайте \frac{7}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$