Розв'яжіть x^2+sqrt{6}x+5=0

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1,224744871+1,870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1,224744871-1,870828693i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, \sqrt{6} замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Піднесіть \sqrt{6} до квадрата.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

Додайте 6 до -20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} за додатного значення ±. Додайте -\sqrt{6} до i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{14} від -\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

Поділіть \sqrt{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{\sqrt{6}}{2}. Потім додайте \frac{\sqrt{6}}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

Піднесіть \frac{\sqrt{6}}{2} до квадрата.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

Додайте -5 до \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Розкладіть x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

Відніміть \frac{\sqrt{6}}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$