Розв'яжіть x+y=5text{37)}x2x-3y=4

$$x + y = 5 \text { 37) } x 2 x - 3 y = 4$$

Знайдіть x, y

$$x=\frac{19}{x_{2}+3}$$

$$y=-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}$$

$$x_{2}\neq -3$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x+y=5,x_{2}x-3y=4$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x+y=5$$

Відніміть y від обох сторін цього рівняння.

$$x=-y+5$$

Підставте -y+5 замість x в іншому рівнянні: x_{2}x-3y=4.

$$x_{2}\left(-y+5\right)-3y=4$$

Помножте x_{2} на -y+5.

$$\left(-x_{2}\right)y+5x_{2}-3y=4$$

Додайте -x_{2}y до -3y.

$$\left(-x_{2}-3\right)y+5x_{2}=4$$

Відніміть 5x_{2} від обох сторін цього рівняння.

$$\left(-x_{2}-3\right)y=4-5x_{2}$$

Розділіть обидві сторони на -x_{2}-3.

$$y=-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}$$

Підставте -\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3} замість y у рівняння x=-y+5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\left(-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}\right)+5$$

Помножте -1 на -\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}.

$$x=\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}+5$$

Додайте 5 до \frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}.

$$x=\frac{19}{x_{2}+3}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{19}{x_{2}+3},y=-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x+y=5,x_{2}x-3y=4$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-x_{2}}&-\frac{1}{-3-x_{2}}\\-\frac{x_{2}}{-3-x_{2}}&\frac{1}{-3-x_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{x_{2}+3}&\frac{1}{x_{2}+3}\\\frac{x_{2}}{x_{2}+3}&\frac{1}{-x_{2}-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{x_{2}+3}\times 5+\frac{1}{x_{2}+3}\times 4\\\frac{x_{2}}{x_{2}+3}\times 5+\frac{1}{-x_{2}-3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{x_{2}+3}\\\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{19}{x_{2}+3},y=\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x+y=5,x_{2}x-3y=4$$

Щоб отримати рівність між x і x_{2}x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на x_{2}, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 1.

$$x_{2}x+x_{2}y=x_{2}\times 5,x_{2}x-3y=4$$

Виконайте спрощення.

$$x_{2}x+x_{2}y=5x_{2},x_{2}x-3y=4$$

Знайдіть різницю x_{2}x-3y=4 і x_{2}x+x_{2}y=5x_{2}. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$x_{2}x+\left(-x_{2}\right)x+x_{2}y+3y=5x_{2}-4$$

Додайте x_{2}x до -x_{2}x. Члени x_{2}x та -x_{2}x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$x_{2}y+3y=5x_{2}-4$$

Додайте x_{2}y до 3y.

$$\left(x_{2}+3\right)y=5x_{2}-4$$

Розділіть обидві сторони на x_{2}+3.

$$y=\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}$$

Підставте \frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3} замість y у рівняння x_{2}x-3y=4. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x_{2}x-3\times \frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}=4$$

Помножте -3 на \frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}.

$$x_{2}x-\frac{3\left(5x_{2}-4\right)}{x_{2}+3}=4$$

Додайте \frac{3\left(5x_{2}-4\right)}{x_{2}+3} до обох сторін цього рівняння.

$$x_{2}x=\frac{19x_{2}}{x_{2}+3}$$

Розділіть обидві сторони на x_{2}.

$$x=\frac{19}{x_{2}+3}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{19}{x_{2}+3},y=\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}$$