Розв'яжіть x+y=3;x-y=4

$$x + y = 3 ; x - y = 4$$

Знайдіть x, y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x+y=3,x-y=4$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x+y=3$$

Відніміть y від обох сторін цього рівняння.

$$x=-y+3$$

Підставте -y+3 замість x в іншому рівнянні: x-y=4.

$$-y+3-y=4$$

Додайте -y до -y.

$$-2y+3=4$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$-2y=1$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Підставте -\frac{1}{2} замість y у рівняння x=-y+3. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)+3$$

Помножте -1 на -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}+3$$

Додайте 3 до \frac{1}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x+y=3,x-y=4$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x+y=3,x-y=4$$

Знайдіть різницю x-y=4 і x+y=3. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$x-x+y+y=3-4$$

Додайте x до -x. Члени x та -x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$y+y=3-4$$

Додайте y до y.

$$2y=3-4$$

Додайте 3 до -4.

$$2y=-1$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Підставте -\frac{1}{2} замість y у рівняння x-y=4. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x-\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

Помножте -1 на -\frac{1}{2}.

$$x+\frac{1}{2}=4$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7}{2}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$