Розв'яжіть x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Знайдіть x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x+3y=6$$

Відніміть 3y від обох сторін цього рівняння.

$$x=-3y+6$$

Підставте -3y+6 замість x в іншому рівнянні: 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Помножте 5 на -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Додайте -15y до -2y.

$$-17y+30=13$$

Відніміть 30 від обох сторін цього рівняння.

$$-17y=-17$$

Розділіть обидві сторони на -17.

$$y=1$$

Підставте 1 замість y у рівняння x=-3y+6. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-3+6$$

Додайте 6 до -3.

$$x=3$$

Систему розв’язано.

$$x=3,y=1$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=3,y=1$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Щоб отримати рівність між x і 5x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 5, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Виконайте спрощення.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Знайдіть різницю 5x-2y=13 і 5x+15y=30. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Додайте 5x до -5x. Члени 5x та -5x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$15y+2y=30-13$$

Додайте 15y до 2y.

$$17y=30-13$$

Додайте 30 до -13.

$$17y=17$$

Розділіть обидві сторони на 17.

$$y=1$$

Підставте 1 замість y у рівняння 5x-2y=13. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$5x-2=13$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$5x=15$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$x=3$$

Систему розв’язано.

$$x=3,y=1$$