Розв'яжіть x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Знайдіть x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x+2y=-1$$

Відніміть 2y від обох сторін цього рівняння.

$$x=-2y-1$$

Підставте -2y-1 замість x в іншому рівнянні: 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Помножте 2 на -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Додайте -4y до -3y.

$$-7y-2=12$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$-7y=14$$

Розділіть обидві сторони на -7.

$$y=-2$$

Підставте -2 замість y у рівняння x=-2y-1. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Помножте -2 на -2.

$$x=4-1$$

Додайте -1 до 4.

$$x=3$$

Систему розв’язано.

$$x=3,y=-2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=3,y=-2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Щоб отримати рівність між x і 2x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 2, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Виконайте спрощення.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Знайдіть різницю 2x-3y=12 і 2x+4y=-2. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Додайте 2x до -2x. Члени 2x та -2x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$4y+3y=-2-12$$

Додайте 4y до 3y.

$$7y=-2-12$$

Додайте -2 до -12.

$$7y=-14$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$y=-2$$

Підставте -2 замість y у рівняння 2x-3y=12. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Помножте -3 на -2.

$$2x+6=12$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$2x=6$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=3$$

Систему розв’язано.

$$x=3,y=-2$$