Розв'яжіть x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Помножте обидві сторони цього рівняння на 6 (найменше спільне кратне для 2,3).

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3 на 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Додайте 6x до 9x, щоб отримати 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2 на x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Додайте 15x до -2x, щоб отримати 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Додайте 3 до 4, щоб обчислити 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Відніміть 6x^{2} з обох сторін.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Додайте 12 до обох сторін.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Додайте 7 до 12, щоб обчислити 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -6x^{2}+ax+bx+19. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 13.

$$a=19 b=-6$$

Перепишіть -6x^{2}+13x+19 як \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Винесіть за дужки -x в першій і -1 у другій групі.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 6x-19, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 6x-19=0 і -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 6 (найменше спільне кратне для 2,3).

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3 на 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Додайте 6x до 9x, щоб отримати 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2 на x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Додайте 15x до -2x, щоб отримати 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Додайте 3 до 4, щоб обчислити 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Відніміть 6x^{2} з обох сторін.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Додайте 12 до обох сторін.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Додайте 7 до 12, щоб обчислити 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -6 замість a, 13 замість b і 19 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Піднесіть 13 до квадрата.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Помножте -4 на -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Помножте 24 на 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Додайте 169 до 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Помножте 2 на -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-13±25}{-12} за додатного значення ±. Додайте -13 до 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Розділіть 12 на -12.

$$x=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-13±25}{-12} за від’ємного значення ±. Відніміть 25 від -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-38}{-12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{19}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Помножте обидві сторони цього рівняння на 6 (найменше спільне кратне для 2,3).

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3 на 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Додайте 6x до 9x, щоб отримати 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити -2 на x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Додайте 15x до -2x, щоб отримати 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Додайте 3 до 4, щоб обчислити 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Відніміть 6x^{2} з обох сторін.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Відніміть 7 з обох сторін.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Відніміть 7 від -12, щоб отримати -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Розділіть обидві сторони на -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Ділення на -6 скасовує множення на -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Розділіть 13 на -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Розділіть -19 на -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Поділіть -\frac{13}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{13}{12}. Потім додайте -\frac{13}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{13}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Щоб додати \frac{19}{6} до \frac{169}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Додайте \frac{13}{12} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$