Розв'яжіть t^2-6t+1geq0

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

Знайти t

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$t^{2}-6t+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -6 – на b, а 1 – на c.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, t-\left(2\sqrt{2}+3\right) і t-\left(3-2\sqrt{2}\right) мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли t-\left(2\sqrt{2}+3\right) і t-\left(3-2\sqrt{2}\right) ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

Розглянемо випадок, коли t-\left(2\sqrt{2}+3\right) і t-\left(3-2\sqrt{2}\right) ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$