Розв'яжіть r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Знайдіть r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -22 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Піднесіть -22 до квадрата.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Додайте 484 до 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Число, протилежне до -22, дорівнює 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} за додатного значення ±. Додайте 22 до 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Розділіть 22+16\sqrt{2} на 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 16\sqrt{2} від 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Розділіть 22-16\sqrt{2} на 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Поділіть -22 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -11. Потім додайте -11 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Додайте 7 до 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Розкладіть r^{2}-22r+121 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Виконайте спрощення.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Додайте 11 до обох сторін цього рівняння.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$