Розв'яжіть n^3=-216

$$n ^ { 3 } = - 216$$

Знайдіть n

$$n=-6$$

Покрокове розв’язання

Додайте 216 до обох сторін.

$$n^{3}+216=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 216, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±216,±108,±72,±54,±36,±27,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$n=-6$$

За допомогою Ньютона, n-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть n^{3}+216 на n+6, щоб отримати n^{2}-6n+36. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$n^{2}-6n+36=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -6 – на b, а 36 – на c.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 36}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$n=\frac{6±\sqrt{-108}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$n\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$n=-6$$