Розв'яжіть n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Знайдіть n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники

Щоб вирішити рівняння, розкладіть n^{2}-n-210 на множники за допомогою формули n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-15 b=14$$

Перепишіть розкладений на множники вираз \left(n+a\right)\left(n+b\right) за допомогою отриманих значень.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть n-15=0 і n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді n^{2}+an+bn-210. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-15 b=14$$

Перепишіть n^{2}-n-210 як \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Винесіть за дужки n в першій і 14 у другій групі.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Винесіть за дужки спільний член n-15, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть n-15=0 і n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n^{2}-n-210=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1 замість b і -210 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Додайте 1 до 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{1±29}{2} за додатного значення ±. Додайте 1 до 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Розділіть 30 на 2.

$$n=15$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{1±29}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 29 від 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Розділіть -28 на 2.

$$n=-14$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=15 n=-14$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Додайте 210 до обох сторін цього рівняння.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Якщо відняти -210 від самого себе, залишиться 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Відніміть -210 від 0.

$$n^{2}-n=210$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Додайте 210 до \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Розкладіть n^{2}-n+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$n=15 n=-14$$