Розв'яжіть n^2-n=120

$$n ^ { 2 } - n = 120$$

Знайдіть n

$$n = \frac{\sqrt{481} + 1}{2} \approx 11,4658561$$

$$n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}\approx -10,4658561$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n^{2}-n=120$$

Відніміть 120 від обох сторін цього рівняння.

$$n^{2}-n-120=120-120$$

Якщо відняти 120 від самого себе, залишиться 0.

$$n^{2}-n-120=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1 замість b і -120 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-120\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -120.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+480}}{2}$$

Додайте 1 до 480.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{481}}{2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$n=\frac{1±\sqrt{481}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{1±\sqrt{481}}{2} за додатного значення ±. Додайте 1 до \sqrt{481}.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{1±\sqrt{481}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{481} від 1.

$$n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2} n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=120$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=120+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=120+\frac{1}{4}$$

Додайте 120 до \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{481}{4}$$

Розкладіть n^{2}-n+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{481}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{481}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{481}}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{481}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2} n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$