Розв'яжіть n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Знайдіть n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники

Щоб розв'язати рівняння, n^{2}-11n-60 використання формули n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-15 b=4$$

Перепишіть розкладений на множники вираз \left(n+a\right)\left(n+b\right) за допомогою отриманих значень.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть n-15=0 та n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді n^{2}+an+bn-60. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-15 b=4$$

Перепишіть n^{2}-11n-60 як \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

n на першій та 4 в друге групу.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Винесіть за дужки спільний член n-15, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть n-15=0 та n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -11 замість b і -60 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Додайте 121 до 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{11±19}{2} за додатного значення ±. Додайте 11 до 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Розділіть 30 на 2.

$$n=15$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{11±19}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 19 від 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Розділіть -8 на 2.

$$n=-4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=15 n=-4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Додайте 60 до обох сторін цього рівняння.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Якщо відняти -60 від самого себе, залишиться 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Відніміть -60 від 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Поділіть -11 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{2}. Потім додайте -\frac{11}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Додайте 60 до \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Розкладіть n^{2}-11n+\frac{121}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Додайте \frac{11}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$n=15 n=-4$$