Розв'яжіть n^2+n-112=0

$$n ^ { 2 } + n - 112 = 0$$

Знайдіть n

$$n = \frac{\sqrt{449} - 1}{2} \approx 10,09481005$$

$$n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}\approx -11,09481005$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n^{2}+n-112=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 1 замість b і -112 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-112\right)}}{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-112\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -112.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+448}}{2}$$

Додайте 1 до 448.

$$n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{449}.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{449} від -1.

$$n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-112=0$$

Додайте 112 до обох сторін цього рівняння.

$$n^{2}+n-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

Якщо відняти -112 від самого себе, залишиться 0.

$$n^{2}+n=-\left(-112\right)$$

Відніміть -112 від 0.

$$n^{2}+n=112$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=112+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=112+\frac{1}{4}$$

Додайте 112 до \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{449}{4}$$

Розкладіть n^{2}+n+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{449}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{449}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{449}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{449}}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$