Розв'яжіть n^2+n-102=0

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

Знайдіть n

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9,611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10,611874208$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n^{2}+n-102=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 1 замість b і -102 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -102.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

Додайте 1 до 408.

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{409}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{409} від -1.

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-102=0$$

Додайте 102 до обох сторін цього рівняння.

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Якщо відняти -102 від самого себе, залишиться 0.

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

Відніміть -102 від 0.

$$n^{2}+n=102$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

Додайте 102 до \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

Розкладіть n^{2}+n+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$