Розв'яжіть m^2-m-3/4geq0

$$m ^ { 2 } - m - \frac { 3 } { 4 } \geq 0$$

Знайти m

$$m\in (-\infty,-\frac{1}{2}]\cup [\frac{3}{2},\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$m^{2}-m-\frac{3}{4}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -1 – на b, а -\frac{3}{4} – на c.

$$m=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$m=\frac{1±2}{2}$$

Розв’яжіть рівняння m=\frac{1±2}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$m=\frac{3}{2} m=-\frac{1}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m+\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, m-\frac{3}{2} і m+\frac{1}{2} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли m-\frac{3}{2} і m+\frac{1}{2} ≤0.

$$m-\frac{3}{2}\leq 0 m+\frac{1}{2}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: m\leq -\frac{1}{2}.

$$m\leq -\frac{1}{2}$$

Розглянемо випадок, коли m-\frac{3}{2} і m+\frac{1}{2} ≥0.

$$m+\frac{1}{2}\geq 0 m-\frac{3}{2}\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: m\geq \frac{3}{2}.

$$m\geq \frac{3}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$m\leq -\frac{1}{2}\text{; }m\geq \frac{3}{2}$$