Розв'яжіть k^2-k=8

$$k ^ { 2 } - k = 8$$

Знайдіть k

$$k = \frac{\sqrt{33} + 1}{2} \approx 3,372281323$$

$$k=\frac{1-\sqrt{33}}{2}\approx -2,372281323$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$k^{2}-k=8$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$k^{2}-k-8=8-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$k^{2}-k-8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1 замість b і -8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-8\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -8.

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32}}{2}$$

Додайте 1 до 32.

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{33}}{2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$k=\frac{1±\sqrt{33}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{1±\sqrt{33}}{2} за додатного значення ±. Додайте 1 до \sqrt{33}.

$$k=\frac{\sqrt{33}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{1±\sqrt{33}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{33} від 1.

$$k=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$k=\frac{\sqrt{33}+1}{2} k=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$k^{2}-k=8$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$k^{2}-k+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$k^{2}-k+\frac{1}{4}=8+\frac{1}{4}$$

Додайте 8 до \frac{1}{4}.

$$k^{2}-k+\frac{1}{4}=\frac{33}{4}$$

Розкладіть k^{2}-k+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$k-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} k-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$k=\frac{\sqrt{33}+1}{2} k=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$$