Розв'яжіть f(x)=x^4-29x^2+100

$$f ( x ) = x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

Розкласти на множники

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 100, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=2$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-29x^{2}+100 на x-2, щоб отримати x^{3}+2x^{2}-25x-50. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -50, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-2$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}+2x^{2}-25x-50 на x+2, щоб отримати x^{2}-25. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{2}-25=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 0 – на b, а -25 – на c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}-25=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-5 x=5$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Обчислити

$$x^{4}-29x^{2}+100$$