Розв'яжіть f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Розкласти на множники

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -20, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 2. Один із таких коренів становить -\frac{5}{2}. Розкладіть многочлен на співмножники, поділивши його на 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Розглянемо x^{3}+3x^{2}-4. За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -4, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Один із таких коренів становить -2. Розкладіть многочлен на співмножники, поділивши його на x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Розглянемо x^{2}+x-2. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді x^{2}+ax+bx-2. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=-1 b=2$$

Перепишіть x^{2}+x-2 як \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 2 у другій групі.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Обчислити

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$