Розв'яжіть f(x)=2x^2+x=1

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x = 1$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 1 з обох сторін.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=-1 b=2$$

Перепишіть 2x^{2}+x-1 як \left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки x в 2x^{2}-x.

$$x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-1=0 та x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+x=1$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+x-1=1-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 1 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Додайте 1 до 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3}{4} за додатного значення ±. Додайте -1 до 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від -1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$x=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x=1$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{1}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$