Розв'яжіть f(x)=-x^3+15x^2-75x+125

$$f ( x ) = - x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 75 x + 125$$

Розкласти на множники

$$\left(5-x\right)^{3}$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 125, а q ділить старший коефіцієнт многочлена -1. Одна коренева 5. Полінома, розділіть його за допомогою x-5.

$$\left(x-5\right)\left(-x^{2}+10x-25\right)$$

Розглянемо -x^{2}+10x-25. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -x^{2}+ax+bx-25. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=10 ab=-\left(-25\right)=25$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 25.

$$1,25 5,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+25=26 5+5=10$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 10.

$$a=5 b=5$$

Перепишіть -x^{2}+10x-25 як \left(-x^{2}+5x\right)+\left(5x-25\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(5x-25\right)$$

-x на першій та 5 в друге групу.

$$-x\left(x-5\right)+5\left(x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-5\right)\left(-x+5\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$\left(-x+5\right)\left(x-5\right)^{2}$$

Обчислити

$$\left(5-x\right)^{3}$$