Розв'яжіть f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Диференціювати за y

$$\cos(y)$$

Покрокові інструкції з використання визначення похідної

Похідна функції f\left(x\right) визначається як границя \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, коли h прямує до 0 (якщо така границя існує).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Скористайтеся формулою синуса суми.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Винесіть \sin(y) за дужки.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Перепишіть межу.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Під час обчислення границь скористайтеся тим фактом, що y прямує до константи, коли h прямує до 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Границя \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} дорівнює 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Щоб обчислити границю \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, спочатку помножте чисельник і знаменник на \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Помножте \cos(h)+1 на \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Скористайтеся основною тригонометричною тотожністю.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Перепишіть межу.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Границя \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} дорівнює 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Скористайтеся тим, що функція \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} неперервна в точці 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Підставте значення 0 у вираз \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Обчислити

$$\sin(y)$$