Розв'яжіть f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Обчислити

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Оскільки \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int t^{2}\mathrm{d}t з \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Оскільки \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int t\mathrm{d}t з \frac{t^{2}}{2}. Помножте -1 на \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Диференціювати за x

$$x\left(x-1\right)$$