Розв'яжіть f^2-3f=-5

$$f ^ { 2 } - 3 f = - 5$$

Знайдіть f

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}\approx 1,5+1,658312395i$$

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}\approx 1,5-1,658312395i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$f^{2}-3f=-5$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=0$$

Відніміть -5 від 0.

$$f^{2}-3f+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -3 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5}}{2}$$

Помножте -4 на 5.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20}}{2}$$

Додайте 9 до -20.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-11}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -11.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{11}i}{2}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2} за додатного значення ±. Додайте 3 до i\sqrt{11}.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{11} від 3.

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$f^{2}-3f=-5$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$f^{2}-3f+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-5+\frac{9}{4}$$

Додайте -5 до \frac{9}{4}.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Розкладіть f^{2}-3f+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$f-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} f-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$