Розв'яжіть a+bsqrt{3}=frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}

$$a+b \sqrt{ 3 } = \frac{ \sqrt{ 3 } -1 }{ \sqrt{ 3 } +1 }$$

Знайдіть b

$$b=-\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$

Покрокові інструкції з розв’язання лінійного рівняння

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{3}-1.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{3} до квадрата. Піднесіть 1 до квадрата.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Відніміть 1 від 3, щоб отримати 2.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Помножте \sqrt{3}-1 на \sqrt{3}-1, щоб отримати \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}$$

Додайте 3 до 1, щоб обчислити 4.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Поділіть кожен член виразу 4-2\sqrt{3} на 2, щоб отримати 2-\sqrt{3}.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Відніміть a з обох сторін.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Рівняння має стандартну форму.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Розділіть обидві сторони на \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Ділення на \sqrt{3} скасовує множення на \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Розділіть 2-\sqrt{3}-a на \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Знайдіть a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$