Розв'яжіть a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

Розкласти на множники

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Покрокове розв’язання

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -32, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$a=2$$

За допомогою Ньютона, a-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 на a-2, щоб отримати a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 16, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$a=2$$

За допомогою Ньютона, a-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 на a-2, щоб отримати a^{3}-2a^{2}+4a-8. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -8, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$a=2$$

За допомогою Ньютона, a-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть a^{3}-2a^{2}+4a-8 на a-2, щоб отримати a^{2}+4. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{2}+4=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 0 – на b, а 4 – на c.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Многочлен a^{2}+4 не розкладається на співмножники, бо не має раціональних коренів.

$$a^{2}+4$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Обчислити

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$