Розв'яжіть a^4-20a^2+64

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

Розкласти на множники

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Покрокове розв’язання

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 64, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$a=2$$

За теоремою подільності многочлен ділиться на a-k для кожного k, що являє собою корінь цього многочлена. Розділіть a^{4}-20a^{2}+64 на a-2, щоб отримати a^{3}+2a^{2}-16a-32. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -32, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$a=-2$$

За теоремою подільності многочлен ділиться на a-k для кожного k, що являє собою корінь цього многочлена. Розділіть a^{3}+2a^{2}-16a-32 на a+2, щоб отримати a^{2}-16. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{2}-16=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 0 – на b, а -16 – на c.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$a=\frac{0±8}{2}$$

Розв’яжіть рівняння a^{2}-16=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$a=-4 a=4$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів.

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Обчислити

$$a^{4}-20a^{2}+64$$