Розв'яжіть a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Знайти a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -68 – на b, а 225 – на c.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень a-\left(7\sqrt{19}+34\right) і a-\left(34-7\sqrt{19}\right) має бути ≥0, а інше – ≤0. Розглянемо випадок, коли a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 і a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення a.

$$a\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 і a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$