Розв'яжіть M(x)=-25x^2+100x+8000

$$M ( x ) = - 25 x ^ { 2 } + 100 x + 8000$$

Розкласти на множники

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 25 за дужки.

$$25\left(-x^{2}+4x+320\right)$$

Розглянемо -x^{2}+4x+320. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -x^{2}+ax+bx+320. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=4 ab=-320=-320$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -320.

$$-1,320 -2,160 -4,80 -5,64 -8,40 -10,32 -16,20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+320=319 -2+160=158 -4+80=76 -5+64=59 -8+40=32 -10+32=22 -16+20=4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 4.

$$a=20 b=-16$$

Перепишіть -x^{2}+4x+320 як \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right)$$

-x на першій та -16 в друге групу.

$$-x\left(x-20\right)-16\left(x-20\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-20, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$25\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-25x^{2}+100x+8000=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Піднесіть 100 до квадрата.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Помножте -4 на -25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+100\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Помножте 100 на 8000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+800000}}{2\left(-25\right)}$$

Додайте 10000 до 800000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{810000}}{2\left(-25\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 810000.

$$x=\frac{-100±900}{2\left(-25\right)}$$

Помножте 2 на -25.

$$x=\frac{-100±900}{-50}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-100±900}{-50} за додатного значення ±. Додайте -100 до 900.

$$x=\frac{800}{-50}$$

Розділіть 800 на -50.

$$x=-16$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-100±900}{-50} за від’ємного значення ±. Відніміть 900 від -100.

$$x=-\frac{1000}{-50}$$

Розділіть -1000 на -50.

$$x=20$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -16 на x_{1} та 20 на x_{2}.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x-\left(-16\right)\right)\left(x-20\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x+16\right)\left(x-20\right)$$

Обчислити

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$