Розв'яжіть 99lambda^2+42lambda-7=0

$$99 \lambda ^ { 2 } + 42 \lambda - 7 = 0$$

Знайдіть λ

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}\approx 0,128029459$$

$$\lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}\approx -0,552271884$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 99 замість a, 42 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 99\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Піднесіть 42 до квадрата.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 99\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Помножте -4 на 99.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764-396\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Помножте -396 на -7.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764+2772}}{2\times 99}$$

Додайте 1764 до 2772.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{4536}}{2\times 99}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4536.

$$\lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{2\times 99}$$

Помножте 2 на 99.

$$\lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198}$$

Тепер розв’яжіть рівняння \lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198} за додатного значення ±. Додайте -42 до 18\sqrt{14}.

$$\lambda =\frac{18\sqrt{14}-42}{198}$$

Розділіть -42+18\sqrt{14} на 198.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Тепер розв’яжіть рівняння \lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198} за від’ємного значення ±. Відніміть 18\sqrt{14} від -42.

$$\lambda =\frac{-18\sqrt{14}-42}{198}$$

Розділіть -42-18\sqrt{14} на 198.

$$\lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33} \lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda =-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda =7$$

Розділіть обидві сторони на 99.

$$\frac{99\lambda ^{2}+42\lambda }{99}=\frac{7}{99}$$

Ділення на 99 скасовує множення на 99.

$$\lambda ^{2}+\frac{42}{99}\lambda =\frac{7}{99}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{42}{99} до нескоротного вигляду.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda =\frac{7}{99}$$

Поділіть \frac{14}{33} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{33}. Потім додайте \frac{7}{33} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\left(\frac{7}{33}\right)^{2}=\frac{7}{99}+\left(\frac{7}{33}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{33} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}=\frac{7}{99}+\frac{49}{1089}$$

Щоб додати \frac{7}{99} до \frac{49}{1089}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}=\frac{14}{121}$$

Розкладіть \lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(\lambda +\frac{7}{33}\right)^{2}=\frac{14}{121}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(\lambda +\frac{7}{33}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{121}}$$

Виконайте спрощення.

$$\lambda +\frac{7}{33}=\frac{\sqrt{14}}{11} \lambda +\frac{7}{33}=-\frac{\sqrt{14}}{11}$$

Відніміть \frac{7}{33} від обох сторін цього рівняння.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33} \lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$