Розв'яжіть 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Розкласти на множники

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 90m^{2}+am+bm-45. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -137.

$$a=-162 b=25$$

Перепишіть 90m^{2}-137m-45 як \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

18m на першій та 5 в друге групу.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5m-9, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Піднесіть -137 до квадрата.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Помножте -4 на 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Помножте -360 на -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Додайте 18769 до 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Видобудьте квадратний корінь із 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Число, протилежне до -137, дорівнює 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Помножте 2 на 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Тепер розв’яжіть рівняння m=\frac{137±187}{180} за додатного значення ±. Додайте 137 до 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 36, щоб звести дріб \frac{324}{180} до нескоротного вигляду.

$$m=\frac{9}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння m=\frac{137±187}{180} за від’ємного значення ±. Відніміть 187 від 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-50}{180} до нескоротного вигляду.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{9}{5} на x_{1} та -\frac{5}{18} на x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Щоб відняти m від \frac{9}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{18} до m, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Щоб помножити \frac{5m-9}{5} на \frac{18m+5}{18}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Помножте 5 на 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Відкиньте 90, тобто найбільший спільний дільник для 90 й 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Обчислити

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$