Розв'яжіть 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Знайдіть y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -12 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Додайте 144 до -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} за додатного значення ±. Додайте 12 до 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Розділіть 12+6\sqrt{2} на 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 6\sqrt{2} від 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Розділіть 12-6\sqrt{2} на 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-12}{9} до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Поділіть -\frac{4}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{3}. Потім додайте -\frac{2}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Щоб додати -\frac{2}{9} до \frac{4}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Розкладіть y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Додайте \frac{2}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$