Розв'яжіть 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Розкласти на множники

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 3 за дужки.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Розглянемо 3y^{2}+25y-18. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 3y^{2}+ay+by-18. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 25.

$$a=-2 b=27$$

Перепишіть 3y^{2}+25y-18 як \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

y на першій та 9 в друге групу.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3y-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть 75 до квадрата.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Додайте 5625 до 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-75±87}{18} за додатного значення ±. Додайте -75 до 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{12}{18} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-75±87}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 87 від -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Розділіть -162 на 18.

$$y=-9$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{2}{3} на x_{1} та -9 на x_{2}.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Щоб відняти y від \frac{2}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Відкиньте 3, тобто найбільший спільний дільник для 9 й 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Обчислити

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$