Розв'яжіть 9x^2-5x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x - 2 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18}\approx 0,824936545$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}\approx -0,269380989$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}-5x-2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -5 замість b і -2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 9}$$

Додайте 25 до 72.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{97}}{18} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{97}}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{97} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18} x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-5x-2=0$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}-5x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Якщо відняти -2 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}-5x=-\left(-2\right)$$

Відніміть -2 від 0.

$$9x^{2}-5x=2$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=\frac{2}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=\frac{2}{9}$$

Поділіть -\frac{5}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{18}. Потім додайте -\frac{5}{18} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{18} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{2}{9}+\frac{25}{324}$$

Щоб додати \frac{2}{9} до \frac{25}{324}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{97}{324}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{97}{324}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{324}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{97}}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{97}}{18}$$

Додайте \frac{5}{18} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18} x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}$$