Розв'яжіть 9x^2-4x-69

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 69$$

Розкласти на множники

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 9x^{2}+ax+bx-69. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-4 ab=9\left(-69\right)=-621$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -621.

$$1,-621 3,-207 9,-69 23,-27$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-621=-620 3-207=-204 9-69=-60 23-27=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -4.

$$a=-27 b=23$$

Перепишіть 9x^{2}-4x-69 як \left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right)$$

9x на першій та 23 в друге групу.

$$9x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-4x-69=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -69.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2484}}{2\times 9}$$

Додайте 16 до 2484.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2500}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2500.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±50}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±50}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{4±50}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±50}{18} за додатного значення ±. Додайте 4 до 50.

$$x=\frac{54}{18}$$

Розділіть 54 на 18.

$$x=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±50}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 50 від 4.

$$x=-\frac{46}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-46}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{23}{9}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 3 на x_{1} та -\frac{23}{9} на x_{2}.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{23}{9} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\times \frac{9x+23}{9}$$

Відкиньте 9, тобто найбільший спільний дільник для 9 й 9.

$$9x^{2}-4x-69=\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Обчислити

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$