Розв'яжіть 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0,743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0,298935084$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -4 замість b і -2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

Додайте 16 до 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} за додатного значення ±. Додайте 4 до 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

Розділіть 4+2\sqrt{22} на 18.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{22} від 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

Розділіть 4-2\sqrt{22} на 18.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Якщо відняти -2 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

Відніміть -2 від 0.

$$9x^{2}-4x=2$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

Поділіть -\frac{4}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{9}. Потім додайте -\frac{2}{9} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{9} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

Щоб додати \frac{2}{9} до \frac{4}{81}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

Додайте \frac{2}{9} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$