Розв'яжіть 9x^2-18x-16=0

$$9 x ^ { 2 } - 18 x - 16 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx-16. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-18 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -18.

$$a=-24 b=6$$

Перепишіть 9x^{2}-18x-16 як \left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right)$$

3x на першій та 2 в друге групу.

$$3x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-8, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-8\right)\left(3x+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-8=0 та 3x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -18 замість b і -16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -18 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -16.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+576}}{2\times 9}$$

Додайте 324 до 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{900}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 900.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±30}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -18, дорівнює 18.

$$x=\frac{18±30}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{18±30}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{18±30}{18} за додатного значення ±. Додайте 18 до 30.

$$x=\frac{48}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{48}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{8}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{18±30}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 30 від 18.

$$x=-\frac{12}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-12}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

Додайте 16 до обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}-18x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Якщо відняти -16 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}-18x=-\left(-16\right)$$

Відніміть -16 від 0.

$$9x^{2}-18x=16$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-18x}{9}=\frac{16}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{9}\right)x=\frac{16}{9}$$

Розділіть -18 на 9.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{9}$$

Поділіть -2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -1. Потім додайте -1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-2x+1=\frac{16}{9}+1$$

Додайте \frac{16}{9} до 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{25}{9}$$

Розкладіть x^{2}-2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-1=\frac{5}{3} x-1=-\frac{5}{3}$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$