Розв'яжіть 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2,247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0,692084062$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -14 замість b і -14 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Додайте 196 до 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} за додатного значення ±. Додайте 14 до 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Розділіть 14+10\sqrt{7} на 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 10\sqrt{7} від 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Розділіть 14-10\sqrt{7} на 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Додайте 14 до обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Якщо відняти -14 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Відніміть -14 від 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Поділіть -\frac{14}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{9}. Потім додайте -\frac{7}{9} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{9} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Щоб додати \frac{14}{9} до \frac{49}{81}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Додайте \frac{7}{9} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$