Розв'яжіть 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, 6 замість b і 9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Додайте 36 до -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} за додатного значення ±. Додайте -6 до 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Розділіть -6+12i\sqrt{2} на 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 12i\sqrt{2} від -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Розділіть -6-12i\sqrt{2} на 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{6}{9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Розділіть -9 на 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Поділіть \frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{3}. Потім додайте \frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Додайте -1 до \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Відніміть \frac{1}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$