Розв'яжіть 9x^2+5x-4=0

$$9 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx-4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=5 ab=9\left(-4\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 5.

$$a=-4 b=9$$

Перепишіть 9x^{2}+5x-4 як \left(9x^{2}-4x\right)+\left(9x-4\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(9x-4\right)$$

Винесіть за дужки x в 9x^{2}-4x.

$$x\left(9x-4\right)+9x-4$$

Винесіть за дужки спільний член 9x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(9x-4\right)\left(x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 9x-4=0 та x+1=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}+5x-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, 5 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 9}$$

Додайте 25 до 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{-5±13}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±13}{18} за додатного значення ±. Додайте -5 до 13.

$$x=\frac{8}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{8}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{9}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±13}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від -5.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Розділіть -18 на 18.

$$x=-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+5x-4=0$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Якщо відняти -4 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Відніміть -4 від 0.

$$9x^{2}+5x=4$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}+5x}{9}=\frac{4}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{4}{9}$$

Поділіть \frac{5}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{18}. Потім додайте \frac{5}{18} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{18} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Щоб додати \frac{4}{9} до \frac{25}{324}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{169}{324}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{169}{324}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{324}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{13}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{13}{18}$$

Відніміть \frac{5}{18} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$