Розв'яжіть 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx+25. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 30.

$$a=15 b=15$$

Перепишіть 9x^{2}+30x+25 як \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

3x на першій та 5 в друге групу.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x+5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 3x+5=0.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, 30 замість b і 25 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Піднесіть 30 до квадрата.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Додайте 900 до -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-30}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Відніміть 25 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

Якщо відняти 25 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}+30x=-25$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{30}{9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Поділіть \frac{10}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{3}. Потім додайте \frac{5}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Щоб додати -\frac{25}{9} до \frac{25}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Розкладіть x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

Відніміть \frac{5}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=-\frac{5}{3}$$