Розв'яжіть 9q^2-7q+1=0

$$9 q ^ { 2 } - 7 q + 1 = 0$$

Знайдіть q

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18}\approx 0,589197293$$

$$q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}\approx 0,188580485$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9q^{2}-7q+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -7 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 9}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-36}}{2\times 9}$$

Додайте 49 до -36.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$q=\frac{7±\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$q=\frac{7±\sqrt{13}}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{7±\sqrt{13}}{18} за додатного значення ±. Додайте 7 до \sqrt{13}.

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{7±\sqrt{13}}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{13} від 7.

$$q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18} q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9q^{2}-7q+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$9q^{2}-7q+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$9q^{2}-7q=-1$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9q^{2}-7q}{9}=-\frac{1}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q=-\frac{1}{9}$$

Поділіть -\frac{7}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{18}. Потім додайте -\frac{7}{18} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q+\left(-\frac{7}{18}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{18} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q+\frac{49}{324}=-\frac{1}{9}+\frac{49}{324}$$

Щоб додати -\frac{1}{9} до \frac{49}{324}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q+\frac{49}{324}=\frac{13}{324}$$

Розкладіть q^{2}-\frac{7}{9}q+\frac{49}{324} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{13}{324}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(q-\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{324}}$$

Виконайте спрощення.

$$q-\frac{7}{18}=\frac{\sqrt{13}}{18} q-\frac{7}{18}=-\frac{\sqrt{13}}{18}$$

Додайте \frac{7}{18} до обох сторін цього рівняння.

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18} q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$