Розв'яжіть 9q^2-20q+4=0

$$9 q ^ { 2 } - 20 q + 4 = 0$$

Знайдіть q

$$q=\frac{2}{9}\approx 0,222222222$$

$$q=2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9q^{2}+aq+bq+4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-20 ab=9\times 4=36$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -20.

$$a=-18 b=-2$$

Перепишіть 9q^{2}-20q+4 як \left(9q^{2}-18q\right)+\left(-2q+4\right).

$$\left(9q^{2}-18q\right)+\left(-2q+4\right)$$

9q на першій та -2 в друге групу.

$$9q\left(q-2\right)-2\left(q-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член q-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(q-2\right)\left(9q-2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть q-2=0 та 9q-2=0.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9q^{2}-20q+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -20 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Піднесіть -20 до квадрата.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-36\times 4}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 4.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-144}}{2\times 9}$$

Додайте 400 до -144.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{256}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±16}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -20, дорівнює 20.

$$q=\frac{20±16}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$q=\frac{20±16}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{20±16}{18} за додатного значення ±. Додайте 20 до 16.

$$q=\frac{36}{18}$$

Розділіть 36 на 18.

$$q=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння q=\frac{20±16}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від 20.

$$q=\frac{4}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{4}{18} до нескоротного вигляду.

$$q=\frac{2}{9}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9q^{2}-20q+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$9q^{2}-20q+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$9q^{2}-20q=-4$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9q^{2}-20q}{9}=-\frac{4}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q=-\frac{4}{9}$$

Поділіть -\frac{20}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{10}{9}. Потім додайте -\frac{10}{9} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\left(-\frac{10}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{10}{9}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{10}{9} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{100}{81}$$

Щоб додати -\frac{4}{9} до \frac{100}{81}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81}=\frac{64}{81}$$

Розкладіть q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{10}{9}\right)^{2}=\frac{64}{81}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(q-\frac{10}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{81}}$$

Виконайте спрощення.

$$q-\frac{10}{9}=\frac{8}{9} q-\frac{10}{9}=-\frac{8}{9}$$

Додайте \frac{10}{9} до обох сторін цього рівняння.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$