Розв'яжіть 9p^2-8p-1

$$9 p ^ { 2 } - 8 p - 1$$

Розкласти на множники

$$\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 9p^{2}+ap+bp-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-8 ab=9\left(-1\right)=-9$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -9.

$$1,-9 3,-3$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -8.

$$a=-9 b=1$$

Перепишіть 9p^{2}-8p-1 як \left(9p^{2}-9p\right)+\left(p-1\right).

$$\left(9p^{2}-9p\right)+\left(p-1\right)$$

Винесіть за дужки 9p в 9p^{2}-9p.

$$9p\left(p-1\right)+p-1$$

Винесіть за дужки спільний член p-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$9p^{2}-8p-1=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -1.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+36}}{2\times 9}$$

Додайте 64 до 36.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{100}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 100.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±10}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$p=\frac{8±10}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$p=\frac{8±10}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{8±10}{18} за додатного значення ±. Додайте 8 до 10.

$$p=\frac{18}{18}$$

Розділіть 18 на 18.

$$p=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{8±10}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 10 від 8.

$$p=-\frac{2}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{18} до нескоротного вигляду.

$$p=-\frac{1}{9}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 1 на x_{1} та -\frac{1}{9} на x_{2}.

$$9p^{2}-8p-1=9\left(p-1\right)\left(p-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$9p^{2}-8p-1=9\left(p-1\right)\left(p+\frac{1}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{9} до p, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$9p^{2}-8p-1=9\left(p-1\right)\times \frac{9p+1}{9}$$

Відкиньте 9, тобто найбільший спільний дільник для 9 й 9.

$$9p^{2}-8p-1=\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$

Обчислити

$$\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$