Розв'яжіть 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Знайдіть n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 3n^{2} з обох сторін.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Додайте 9n^{2} до -3n^{2}, щоб отримати 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6n^{2}+an+bn+20. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-15 b=-8$$

Перепишіть 6n^{2}-23n+20 як \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Винесіть за дужки 3n в першій і -4 у другій групі.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2n-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2n-5=0 і 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть 3n^{2} з обох сторін.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Додайте 9n^{2} до -3n^{2}, щоб отримати 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -23 замість b і 20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Піднесіть -23 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Додайте 529 до -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -23, дорівнює 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{23±7}{12} за додатного значення ±. Додайте 23 до 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{12} до нескоротного вигляду.

$$n=\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{23±7}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{16}{12} до нескоротного вигляду.

$$n=\frac{4}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Відніміть 3n^{2} з обох сторін.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Додайте 9n^{2} до -3n^{2}, щоб отримати 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Відніміть 20 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-20}{6} до нескоротного вигляду.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Поділіть -\frac{23}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{23}{12}. Потім додайте -\frac{23}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{23}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Щоб додати -\frac{10}{3} до \frac{529}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Розкладіть n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Додайте \frac{23}{12} до обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$