Розв'яжіть 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Знайдіть a

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -10 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Піднесіть -10 до квадрата.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Додайте 100 до -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -10, дорівнює 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} за додатного значення ±. Додайте 10 до 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Розділіть 10+2i\sqrt{11} на 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{11} від 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Розділіть 10-2i\sqrt{11} на 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Поділіть -\frac{10}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{9}. Потім додайте -\frac{5}{9} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{9} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Щоб додати -\frac{4}{9} до \frac{25}{81}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Розкладіть a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Виконайте спрощення.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Додайте \frac{5}{9} до обох сторін цього рівняння.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$