Розв'яжіть 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Знайдіть a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9a^{2}+aa+ba+16. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 24.

$$a=12 b=12$$

Перепишіть 9a^{2}+24a+16 як \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

3a на першій та 4 в друге групу.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3a+4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 3a+4=0.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, 24 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Піднесіть 24 до квадрата.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Додайте 576 до -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-24}{18} до нескоротного вигляду.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{24}{9} до нескоротного вигляду.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Поділіть \frac{8}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{4}{3}. Потім додайте \frac{4}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Щоб додати -\frac{16}{9} до \frac{16}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Розкладіть a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Відніміть \frac{4}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$a=-\frac{4}{3}$$