Розв'яжіть 9(x+1)=sqrt{2x+5}

$$9 ( x + 1 ) = \sqrt { 2 x + 5 }$$

Знайдіть x

$$x=\frac{2\left(\sqrt{61}-40\right)}{81}\approx -0,79480865$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(9\left(x+1\right)\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 9 на x+1.

$$\left(9x+9\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(9x+9\right)^{2}.

$$81x^{2}+162x+81=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2x+5} у степені 2 і отримайте 2x+5.

$$81x^{2}+162x+81=2x+5$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$81x^{2}+162x+81-2x=5$$

Додайте 162x до -2x, щоб отримати 160x.

$$81x^{2}+160x+81=5$$

Відніміть 5 з обох сторін.

$$81x^{2}+160x+81-5=0$$

Відніміть 5 від 81, щоб отримати 76.

$$81x^{2}+160x+76=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 81 замість a, 160 замість b і 76 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 81\times 76}}{2\times 81}$$

Піднесіть 160 до квадрата.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 81\times 76}}{2\times 81}$$

Помножте -4 на 81.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-324\times 76}}{2\times 81}$$

Помножте -324 на 76.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-24624}}{2\times 81}$$

Додайте 25600 до -24624.

$$x=\frac{-160±\sqrt{976}}{2\times 81}$$

Видобудьте квадратний корінь із 976.

$$x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{2\times 81}$$

Помножте 2 на 81.

$$x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162} за додатного значення ±. Додайте -160 до 4\sqrt{61}.

$$x=\frac{4\sqrt{61}-160}{162}$$

Розділіть -160+4\sqrt{61} на 162.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{61} від -160.

$$x=\frac{-4\sqrt{61}-160}{162}$$

Розділіть -160-4\sqrt{61} на 162.

$$x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81} x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}$$

Підставте \frac{2\sqrt{61}-80}{81} замість x в іншому рівнянні: 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5}.

$$9\left(\frac{2\sqrt{61}-80}{81}+1\right)=\sqrt{2\times \frac{2\sqrt{61}-80}{81}+5}$$

Спростіть. Значення x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81} задовольняє рівнянню.

$$\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}$$

Підставте \frac{-2\sqrt{61}-80}{81} замість x в іншому рівнянні: 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5}.

$$9\left(\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}+1\right)=\sqrt{2\times \frac{-2\sqrt{61}-80}{81}+5}$$

Спростіть. Значення x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$-\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{9}$$

Рівняння 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5} має один розв’язок.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81}$$