Розв'яжіть 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx+25. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -30.

$$a=-15 b=-15$$

Перепишіть 9x^{2}-30x+25 як \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Винесіть за дужки 3x в першій і -5 у другій групі.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -30 замість b і 25 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Піднесіть -30 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Додайте 900 до -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -30, дорівнює 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Відніміть 25 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Якщо відняти 25 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-30}{9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Поділіть -\frac{10}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{3}. Потім додайте -\frac{5}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Щоб додати -\frac{25}{9} до \frac{25}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Розкладіть x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Додайте \frac{5}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=\frac{5}{3}$$