Розв'яжіть 9x^2+6x+1=0

$$9 { x }^{ 2 } +6x+1=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 9.

$$1,9 3,3$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+9=10 3+3=6$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 6.

$$a=3 b=3$$

Перепишіть 9x^{2}+6x+1 як \left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right)$$

Винесіть за дужки 3x в 9x^{2}+3x.

$$3x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Винесіть за дужки спільний член 3x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(3x+1\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 3x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, 6 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Додайте 36 до -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{6}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=-\frac{6}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-6}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}+6x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}+6x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{6}{9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Поділіть \frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{3}. Потім додайте \frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Щоб додати -\frac{1}{9} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Розкладіть x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{3}=0 x+\frac{1}{3}=0$$

Відніміть \frac{1}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=-\frac{1}{3}$$